↑ Konspektid

Kolm arusaama matemaatikast

  1. Ratsionalism: matemaatika tõed pärinevad mõistusest enesest
  2. Klassikaline empirism: matemaatika tõed pärinevad kogemusest
  3. Kaasaegne empirism: matemaatika tõed on analüütilised, st nad tulenevad aksioomidest ja definitsioonidest, mis on tegelikult konventsioonid

Puhas geomeetria

Puhta geomeetria mõisteid ei interpreteerita. David Hilbert (1862-1943) on naljaga pooleks öelnud, et kui puhtas geomeetrias asendada sõnad 'punkt', 'sirge' ja 'tasand' sõnadega 'laud', 'tool' ja 'õllekruus', ei muutu geomeetrias midagi.

Füüsikaline geomeetria

Eukleidiline ja mitte-eukleidilised geomeetriad

Parallleelide aksioom:

Eukleidese geomeetrias:

Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saab tõmmata ainult ühe sirge, mis on paralleelne selle sirgega.

Lobatševski geomeetrias:

Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saab tõmmata lõputult palju sirgeid, mis on paralleelsed selle sirgega.

Riemanni geomeetrias:

Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, ei saa tõmmata ühtegi sirget, mis oleks paralleelne selle sirgega.

Milline füüsikaline geomeetria on tõene?

Valguskiirtest moodustatud kolmnurga mõõtmised

Albert Einsteini (1879 - 1955) arvates ei ole füüsikaline ruum eukleidiline

Henri Poincare (1854- 1912) arvates ei ole ükski füüsikaline geomeetria tõesem teistest. Eksperimendi teel saaks kontrollida vaid süsteemi 'füüsikaline geomeetria + optika'

Kas kõverdub valguskiir või ruum?

Puhta matemaatika väited on analüütilised

Arvutamine ei anna uusi teadmisi füüsikalise reaalsuse kohta.

Arvutamine on vaid abivahend eeldustes sisalduva info väljaselgitamiseks

Carl Hempel (1905-1997) on kirjutanud:

Niisiis on matemaatika (nagu ka loogika) funktsiooniks empiirilise teadmise saavutamisel olla n-ö teoreetiline mahlaeraldaja: matemaatika või loogika teooria tehnikad ei suuda toota rohkem faktilise informatsiooni mahla, kui seda on eeldustes, mille suhtes neid rakendatakse; nende tehnikate abil võib aga antud toormaterjalist toota rohkem mahla, kui seda esmapilgul näib võimalik olevat saada.

 

 

Toome ka ühe näite selle kohta, kuidas selle teadmine, et 2+2=4 ei ole mitte kuidagi seotud kogemusega, vaid põhineb vaid teisendamisel (arvutamisel).